\documentclass[a4paper, 12pt]{article}

\usepackage{cours}
\thispagestyle{empty}
\begin{document}
\sffamily
\pres{IE \no 6 --- Nombres complexes}{Le 13/03/2025}{CPES --- SG}
\textsl{Calculatrices autorisées - Durée : 1h30 (2H pour les tiers-temps).}


\exo{/2}

Résoudre dans $\CC$ les équations suivantes :
\benu
\item $3z+1-2\ci=4-3\ci-2\ci z$
\item $3\non z+2\ci=\ci z$
%\item $\non z-1=z\non z-\ci$
%\item $z^2=z-1$
\eenu


\exo{/3}

On considère le polynôme $P$ défini sur $\CC$ par $P(z)=z^3-(2+\ci\sqrt 2)z^2 + 2(1+\ci\sqrt2)z-2\ci\sqrt2$.
\benu
\item Montrer que le nombre $z_0=\ci\sqrt2$ est une racine de $P$.
\item Factoriser le polynôme $P$ 
\item En déduire les solutions de l'équation $P(z)=0$ dans $\CC$.
\eenu

\exo{/3}
\benu
\item Trouver sous la forme $a+\ci b$ ($a$ et $b$ réels) un nombre complexe $\omega$ tel que $\omega^2 = 48 + 14\ci$
\item Résoudre dans $\CC$ l'équation $z^2 - 5(1+\ci)z-12+9\ci=0$
\item Vérifier que le quotient des racines est un imaginaire pur.
\eenu


\exo{/4}

On considère la fonction $f$ de $\CC$ dans $\CC$ qui à tout nombre complexe différent de $-1$, associe $f(z)=\frac{\ci z}{z+1}$
\benu
\item Soit $z_1=-\frac{1}{2}  +\ci$. Donner l'expression algébrique de $f(z_1)$.
\item Déterminer les solutions de l'équation $f(z)=z$.
\item On pose $z=x+\ci y$, avec $x$ et $y$ réels tels que $(x,y)\neq (-1,0)$.
	\benu
	\item Déterminer l'ensemble $\mathcal E$ des couples $(x,y)\in\R\*\R$ tels que $f(z)\in\R$.
	\item Déterminer l'ensemble $\mathcal F$ des couples $(x,y)\in\R\*\R$ tels que $f(z)\in\ci\R$.
	\item Interpréter ces ensembles en terme géométrique.
	\eenu
\eenu

\exo{/2}

On considère le nombre complexe $z=\frac{3-3\ci}{\sqrt3+\ci}$ .
\benu
\item Déterminer la forme exponentielle de $z$
\item En déduire l'écriture algébrique de $z^{10}$.
\eenu

%\exo{}
%Déterminer une forme trigonométrique et exponentielle des nombres suivants :
%\benu
%\item $z_1 = \frac32 + \frac{3\sqrt3}{2}\ci$
%\item $z_2 = -2+2\ci$
%\item $z_1\*z_2$
%\item $\frac{z_1}{z_2}$
%\eenu

\exo{/2}

Linéariser l'expression $\cos^2(x)\sin(x)$ pour $x$ réel.


\exo{Problème /6}

Soient $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $-1$ et $1$. \`A chaque point $M$ du plan complexe d'affixe $z\in\CC^*$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que \[z' = \frac{1}{2}\left(z + \frac{1}{z}\right).\]
\benu
\item Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z\in\CC^*$ tels que $z'=z$.
\item Soit $M$ un point d'affixe $z\in\CC^*$, distinct de $A$ et de $B$. Justifier l'égalité 
\[\frac{z'+1}{z'-1} = \left (\dfrac{z+1}{z-1}\right )^2\]
\item En déduire $\dfrac{M'A}{M'B}$ en fonction de $\dfrac{MA}{MB}$ et l'angle $\Av{{M'}}{A}{{M'}}{B}$ en fonction de l'angle $\Av{M}{A}{M}{B}$.
\item Montrer que si le point $M$, distinct de l'origine $O$ du repère, appartient à l'axe des ordonnées alors il en est de même pour $M'$.\\
 Que peut-on dire du point $M'$ lorsque $M$ est proche de $O$ sur la droite des ordonnées ?
\item soit $\Gamma$ le cercle de diamètre $[AB]$. Démontrer que 
\[M\in\Gamma \iff M'\in[AB]\]
\textsl{Distinguer les cas \textbf{$M$ est distinct de $A$ et $B$} ou pas.}
\eenu


\exo{/3}

On pose $z = \cos\frac{\pi}{8} + \ci\sin\frac{\pi}{8}$.
\benu
\item Justifier que l'écriture algébrique de $z^2$ est $\frac{\sqrt{2}}{2} + \ci\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
\item Par une technique de recherche de racine carrée, déterminer les valeurs exactes de $\cos\frac{\pi}{8}$ et $\sin\frac{\pi}{8}$.
\eenu


\end{document}