Cas du porteur seul
On considère le porteur seul constitué de la flèche 1 et du balancier 2 si le godet 3 est piloté indépendamment.
Soit la position du point \(O_3\) dans le repère lié au socle 0 : \(\overrightarrow{O_1O_3}=x_3\vec x_0+y_3\vec y_0\).
MGD
Le MGD du bras complet se simplifie en :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
x_3=L_1\cos\gamma_1+L_2\cos\left(\gamma_1+\gamma_2\right)\\
y_3=L_1\sin\gamma_1+L_2\sin\left(\gamma_1+\gamma_2\right)\\
\end{array}
\right.
\]
MGI
Le MGI du bras complet devient
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\gamma_2=\pm\textrm{acos}\left(\dfrac{x_3^2+y_3^2-\left(L_1^2+L_2^2\right)}{2L_1L_2}\right)\\
\gamma_1=\textrm{atan2}\left(\dfrac{y_3\left(L_1+L_2\cos\gamma_2\right)-x_3L_2\sin\gamma_2}{x_3\left(L_1+L_2\cos\gamma_2\right)+y_3L_2\sin\gamma_2}\right)
\end{array}
\right.
\]
Deux solutions
La figure ci-dessous montre que le problème possède deux solutions correspondant à deux postures différentes du bras 2 (sous réserve qu'il n'y ait pas de butées sur les articulations).
La position du point \(O_3\) dans le repère lié au socle 0 peut être atteinte avec le couple d'angles \(\left(\gamma_1,\gamma_2\right)\) ou le couple \(\left(\gamma_1^{*},\gamma_2^{*}=-\gamma_2\right)\)
Remarques
- L’angle \(\gamma_2\) peut aussi être trouvé en appliquant le théorème de Pythagore généralisé
- Connaissant \(\gamma_2\), le système d’équations à deux inconnues \(\sin\gamma_2\) et \(\cos\gamma_1\) peut être résolu en utilisant la méthode de Cramer via le déterminant du système.